log_vero_surv_lnorm <- function(theta,t,status){
mu <- theta[1]
sigma <- theta[2]
log_S <- plnorm(t, meanlog = mu, sdlog = sigma, lower.tail = FALSE, log.p = TRUE)
log_f <- -0.5*log(2*pi) - log(t) - log(sigma) - (1/(2*sigma^2)) * (log(t) - mu)^2
L_LOG <- sum(status * log_f + (1 - status) * log_S)
return(-L_LOG)
}3 Distribuição Log-normal
A função densidade de probabilidade associada a variável aleatória tempo até o evento \(T\) com distribuição log-normal e função de sobrevivência é dada por:
\[ f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot t \cdot \sigma} \cdot exp\left[ \frac{1}{2\sigma^{2}} \cdot (\log(t) - \mu)^{2} \right] \ ; \ S(t)= \Phi \left(\frac{-\log(t) + \mu}{\sigma} \right) t > 0 \]
3.1 Função de verossimilhança
\[ L(\theta | t) = \prod_{i=1}^n \left[ \left( (2\pi)^{-1/2} \cdot t^{-1} \cdot \sigma^{-1} \cdot \exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2} (\log(t) - \mu)^2 \right] \right)^{\delta_i} \cdot \left( \Phi \left( \frac{-\log(t) + \mu}{\sigma} \right) \right)^{1-\delta_i} \right] \]
3.2 Log-verossimilhança da Log-Normal:
\[ \ell[L(\theta | t)] = \sum_{i=1}^n \left[ \delta_i \log \left( (2\pi)^{-1/2} \cdot t_i^{-1} \cdot \sigma^{-1} \cdot \exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2} (\log(t_i) - \mu)^2 \right] \right) + (1-\delta_i) \log \left( \Phi \left( \frac{-\log(t_i) + \mu}{\sigma} \right) \right) \right] \]
\[ = \sum_{i=1}^n \left[ \delta_i \left[ -\frac{1}{2} \log(2\pi) - \log(t_i) - \log(\sigma) - \frac{1}{2\sigma^2} (\log(t_i) - \mu)^2 \right] + (1-\delta_i) \log \left( \Phi \left( \frac{-\log(t_i) + \mu}{\sigma} \right) \right) \right] \]
3.3 Lineiarização da função de sobrevivência da log-normal
A função de sobrevivência associada ao modelo log-normal, dada por
\[ S(t)= \Phi \left(\frac{-\log(t) + \mu}{\sigma} \right) \]
também pode ser linearizada e apresentada a seguinte forma
\[ \Phi^{-1}(S(t)) = \frac{-\log(t) + \mu}{\sigma} = \frac{\mu}{\sigma} - \left(\frac{1}{\sigma}\right)\log(t) \]
com \(\Phi^{-1}(.)\) correspondendo aos percentis da distribuição normal padrão.
Portanto para que o modelo log-normal seja considerado apropriado, o gráfico \(\Phi^{-1}(\hat{S}(t))\) versus \(\log(t)\) deve ser aproximadamente linear com intercepto \(a=\mu/\sigma\), e inclinação \(b = -1/\sigma\).
3.4 Aplicação: Pacientes com câncer de bexiga
1º Função de log-verossimilhança
2º Obtendo os parâmetros estimados pelo modelo
ajust2 <- optim(par=c(1,1),f=log_vero_surv_lnorm,
t = tempos,
status = cens)O valor \(par = \left\{\hat{\mu};\hat{\sigma}\right\}\) é de \(\hat{\mu} = 2.717182\) e \(\hat{\sigma} =0.764918\) sendo o valor da estatistica da log-verrossimilhança para o modelo de 65.7399.
3º Comparação gráfica entre a curva de sobrevivência teórica e a curva KM. Bem como observar o comportamento dos dados, ao modelo.
mu_est <- ajust2$par[1]
sigma_est <- ajust2$par[2]
s_lnorm <- pnorm((log(t_teorico) - mu_est) / sigma_est,
lower.tail = FALSE)