S_loglogistica <- function(theta, t, delta) {
alpha <- exp(theta[1])
gamma <- exp(theta[2])
log_f <- log(gamma) - (gamma * log(alpha)) + (gamma - 1) * log(t) - 2 * log(1 + (t/alpha)^gamma)
log_S <- -log(1 + (t/alpha)^gamma)
LOG_L <- sum(delta * log_f + (1 - delta) * log_S)
return(-LOG_L)
}4 Distribuição Log-logística
A função densidade de probabilidade associada a variável aleatória tempo até o evento \(T\) com distribuição log-logística é dada por:
\[ f(t) = \frac{\gamma}{\alpha^{\gamma}} \cdot t^{(\gamma-1)} \left[ 1 + \left(\frac{t}{\alpha} \right)^\gamma \right]^{-2} \]
4.1 Função de Sobrevivência
\[ S(t) = \frac{1}{1 + \left(\frac{t}{\alpha} \right)^\gamma} \]
4.2 Função verossimilhança
\[ L(\theta | t) = \prod_{i=1}^{n} \left[ \left( \frac{\gamma}{\alpha^\gamma} \cdot t_i^{\gamma-1} \left[ 1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma \right]^{-2} \right)^{\delta_i} \cdot \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma} \right)^{1-\delta_i} \right] \]
\[ \ell[L(\theta | t)] = \sum_{i=1}^{n} \left[ \delta_i \log \left( \frac{\gamma}{\alpha^\gamma} \cdot t_i^{\gamma-1} \left[ 1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma \right]^{-2} \right) + (1-\delta_i) \log \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma} \right) \right] \]
\[ = \sum_{i=1}^{n} \left[ \delta_i \left( \log(\gamma) - \gamma \log(\alpha) + (\gamma-1) \log(t_i) - 2 \log \left( 1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma \right) \right) + \\[10pt] (1-\delta_i) \log \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma} \right) \right] \]
Aplicando uma expansão dos termos nas duas últimas partes da expressão, se pode simplificar da seguinte forma:
\[ = -2 \delta_i \log \left( 1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma \right) + \log \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma} \right) - \delta_i \log \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma} \right) \]
\[ = -2\delta_i \log \left( 1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma \right) + \log \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma} \right) + \delta_i \log \left( 1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma \right) \]
Logo, a expressão final:
\[ \\[10pt] = \sum_{i=1}^{n} \left[ \delta_i \left[ \log(\gamma) - \gamma \log(\alpha) + (\gamma-1) \log(t_i) - \log \left( 1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma \right) + \log \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{t_i}{\alpha} \right)^\gamma} \right) \right] \right] \]
4.3 Aplicação
Aplicando o \(optim\) se obtem os valores estimados dos parãmetros: [ 2.7373688, 0.7993457] e estatística de 66.03053.